Các cách chứng minh hình thoi cực chi tiết, dễ hiểu

Chúng ta đã được tìm hiểu về hình thoi. Vậy có mấy cách chứng minh hình thoi?Hoặc chứng minh tứ giác là hình thoi thì có những cách nào? Để trả lời cho câu hỏi này, chúng ta cùng VOH Giáo Dục tìm hiểu qua bài viết dưới đây nhé.

1. Nhắc lại về định nghĩa và tính chất của hình thoi

1.1. Định nghĩa hình thoi

- Hình thoi là một tứ giác có 4 cạnh bằng nhau.

Ví dụ: MNPQ là hình thoi khi và chỉ khi: MN = NP = PQ = QM

- Nếu một hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau hoặc hai đường chéo vuông góc với nhau thì đó là hình thoi.

Ví dụ: Cho MNPQ là hình bình hành

MNPQ trở thành hình thoi nếu

+ MN = NP hoặc NP = PQ hoặc PQ = QM

+ Hoặc

1.2. Các tính chất của hình thoi

- Hình thoi có tất cả các tính chất của hình bình hành

- Hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường

- Hai đường chéo là các đường phân giác của các góc trong hình thoi

» Xem thêm:

• Tính chất hình thoi cùng các bài tập vận dụng cực hay
• Các dấu hiệu nhận biết hình thoi chi tiết từ A-Z

2. Cách chứng minh hình thoi

Dựa vào định nghĩa và tính chất của hình thoi, ta có các cách chứng minh hình thoi như sau:

- Cách 1: Chứng minh 4 cạnh của một tứ giác bằng nhau

Ví dụ: Để chứng minh tứ giác MNPQ là một hình thoi thì ta sẽ đi chứng minh:

MN = NP = PQ = QM

- Cách 2: Chứng minh một tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường

Ví dụ: Muốn chứng minh tứ giác MNPQ là một hình thoi thì ta sẽ đi chứng minh:

Gọi I là trung điểm của MP và NQ thì: tại I

- Cách 3: Chứng minh một tứ giác là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau

Ví dụ: Nếu MNPQ là hình bình hành thì để chứng minh MNPQ cũng là hình thoi thì ta sẽ đi chứng minh:

MN = NP hoặc NP = PQ hoặc PQ = QM

- Cách 4: Chứng minh hình bình hành có một đường chéo là phân giác của một góc

Ví dụ: Nếu MNPQ là hình bình hành thì để chứng minh MNPQ cũng là hình thoi thì ta sẽ đi chứng minh:

NQ là phân giác của góc MNP hoặc góc MQP

MP là phân giác của của góc NPQ hoặc góc NMQ

- Cách 5: Chứng minh hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau

Ví dụ: Nếu MNPQ là hình bình hành thì để chứng minh MNPQ cũng là hình thoi thì ta sẽ đi chứng minh:

3. Các dạng bài tập về chứng minh hình thoi lớp 8

3.1. Dạng 1: Câu hỏi trắc nghiệm củng cố lý thuyết

*Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa, tính chất, các cách chứng minh hình thoi để chọn đáp án đúng

Câu 1: Tứ giác MNPQ là hình thoi khi và chỉ khi:

A. MN = MP = PQ = NQ

B. MN = NQ = PQ = QM

C. MN = NP = PQ = QM

D. MN = NP = PQ = MP

ĐÁP ÁN

Dựa vào định nghĩa, ta chọn đáp án đúng là C

Câu 2: Một hình bình hành là hình thoi khi:

A. Có hai đường chéo bằng nhau

B. Có hai đường chéo vuông góc với nhau

C. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

D. Hai cạnh đối bằng nhau

ĐÁP ÁN

Dựa vào các cách chứng minh, ta chọn đáp án đúng là B

Câu 3: Một tứ giác là hình thoi khi:

A. Hai đường chéo vuông góc với nhau

B. Hai đường chéo bằng nhau

C. Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

D. Hai đường chéo vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

ĐÁP ÁN

Dựa vào các cách chứng minh, ta chọn đáp án đúng là D

Câu 4: Một hình bình hành là hình thoi khi:

A. Hai cạnh kề bằng nhau

B. Hai cạnh đối bằng nhau

C. Hai cạnh đối song song với nhau

D. Hai cạnh đối song song và bằng nhau

ĐÁP ÁN

Dựa vào định nghĩa và các cách chứng minh, ta chọn đáp án đúng là A

Câu 5: Chọn đáp án sai. Hình bình hành là hình thoi khi

A. Hai đường chéo vuông góc với nhau

B. Một đường chéo là phân giác của một góc

C. Hai đường chéo bằng nhau

D. Một đường chéo vuông góc với đường chéo còn lại

ĐÁP ÁN

Dựa vào tính chất và cách chứng minh, ta chọn đáp án C

3.2. Dạng 2: Chứng minh một tứ giác là hình thoi

*Phương pháp giải:

Dựa vào các cách chứng minh một tứ giác là hình thoi vừa nêu trên để giải bài toán

Bài 1: Cho tứ giác MNPQ có MN // PQ, MN = NP = PQ.

a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành

b) Chứng minh MNPQ là hình thoi

ĐÁP ÁN

a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành

Xét tứ giác MNPQ có

+ MN // PQ

+ MN = PQ

⇒ MNPQ là hình bình hành (theo dấu hiệu nhận biết)

b) Chứng minh MNPQ là hình thoi

Theo a), MNPQ là hình bình hành

mà MN = NP

⇒ MNPQ là hình thoi (theo cách chứng minh 1)

Bài 2: Cho tam giác MNQ cân tại M, có đường cao MA. Lấy điểm P đối xứng với M qua A. Chứng minh rằng:

a) NA = AQ

b) MNPQ là hình thoi

ĐÁP ÁN

a) Chứng minh NA = AQ

Ta có: Tam giác MNQ cân tại M

⇒ MA là đường cao đồng thời là đường trung tuyến

⇒ NA = AQ (đpcm)

b) Chứng minh rằng: MNPQ là hình thoi

hay (1)

P đối xứng với M qua A ⇒ A là trung điểm của MP

MA là đường trung tuyến trong tam giác MNQ ⇒ A là trung điểm của NQ

Mà MP và NQ cắt nhau tại A ⇒ MP, NQ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MNPQ là hình thoi (theo cách chứng minh 2)

Bài 3: Cho tam giác MHK có MH = MK, đường trung tuyến MP, từ P kẻ PQ song song với MH (Q thuộc MK); kẻ PN song song với MK (N thuộc MH).

a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành

b) Hình bình hành MNPQ là hình thoi

ĐÁP ÁN

a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành

Ta có:

PQ // MH hay PQ // MN (1)

PN // MK hay PN // MQ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ MNPQ là hình bình hành

b) Hình bình hành MNPQ là hình thoi

Ta có: MH = MK ⇒ Tam giác MHK cân tại M

⇒ Đường trung tuyến MP đồng thời là đường phân giác

Hình bình hành MNPQ có đường chéo MP là tia phân giác của góc NMQ

⇒ MNPQ là hình thoi

Vậy trên đây là tất cả các cách chứng minh tứ giác là hình thoi hoặc một hình bình hành là hình thoi. Hy vọng bài viết sẽ giúp các bạn hiểu rõ hơn và làm bài tập phần này dễ dàng hơn.

Chịu trách nhiệm nội dung: GV Nguyễn Thị Trang